Ziele: The aim of this project is to further investigate the types of finite time singularities that occur for the Ricci flow in four dimensions in the real case, and higher dimensions in the Kaehler case, when the scalar curvature is bounded in the L^p norm

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Das Ziel dieses Projektes ist es, Singularitäten des Ricci-Flusses in vier Dimensionen zu verstehen, wenndie Topologie bzw. die Geometrie eingeschränkt ist. Für vier-dimensionale Lösungen mit beschränkter Skalarkrümmung wurde folgendes in Arbeiten von R. Bamler, Q. Zhang und (unabhängig davon) dem Antragsteller gezeigt: Falls die Lösung in endlicher Zeit singulär wird, dann sind die Singularitäten vom Orbifold-Typ. Weiterhin wurde in einer Arbeit des Antragstellers gezeigt, dass die Lösung mit dem Orbifold Ricci-Flussfortgesetzt werden kann. In diesem Projekt möchten wir die Situation untersuchen, dass die Skalarkrümmung inLp gleichmässig in der Zeit, oder durch (T-t)-dafür ein kleines a>0 zu jeder Zeit t

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Das Ziel dieses Projektes ist es, Singularitäten des Ricci-Flusses in vier Dimensionen zu verstehen, wenn die Topologie bzw. die Geometrie eingeschränkt ist. Für vier-dimensionale Lösungen mit beschränkter Skalarkrümmung wurde folgendes in Arbeiten von R. Bamler, Q. Zhang und (unabhängig davon) dem Antragsteller gezeigt: Falls die Lösung in endlicher Zeit singulär wird, dann sind die Singularitäten vom Orbifold-Typ. Weiterhin wurde in einer Arbeit des Antragstellers gezeigt, dass die Lösung mit dem Orbifold Ricci-Fluss fortgesetzt werden kann. In diesem Projekt möchten wir die Situation untersuchen, dass die Skalarkrümmung in L^p gleichmässig in der Zeit, oder durch (T-t)^-a für ein kleines a>0 zu jeder Zeit t

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Der Ricci-Fluss ist eine parabolische Gleichung 2. Ordnung auf einer Mannigfaltigkeit. In dem Fall, dass die Mannigfaltigkeit einfach zusammenhängend ist und Dimension drei hat, wurde dieser Fluss von R.Hamilton, G.Perelman und anderen dazu benutzt, die Richtigkeit der Poincaré-Vermutung zu beweisen.
Mithilfe des Ricci-Flusses hofft man, noch viele andere offene geometrische Fragen beantworten zu können.
Dieses Projekt hat folgende Ziele:
1. Einen Ricci-Fluss für nicht glatte Anfangsdaten zu definieren.
2. Abschätzungen herzuleiten, die nur von einfachen geometrischen Größen anbhängig sind. Zu diesen geometrischen. Größen gehören: Volumen, Durchmesser, untere Krümmungsschränken, Distanz.
3. Besseres Verständnis für Räume mit unteren Krümmungsschränken zu bekommen
4. Besseres Verständnis für die Singularitäten des Ricci-Flusses zu bekommen
Gegenstand des Teilprojekts von Herrn Arthur Schlichting sind Punkte 1 und 3, wobei die bisherigen Ergebnisse auch neue Informationen zu 2 und 4 liefern.
In Teil I der Arbeit beschäftigt sich Herr Schlichting mit dem Glätten geklebter Mannigfaltigkeiten. Genauer: Wir betrachten zwei Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit Rand, wobei
a) die Riemannschen Mannigfaltigkeiten isometrisch am Rand sind,
b) die Summe der zweiten Fundamentalformen am Rand nichtnegativ ist
c) die Eigenwerte des Krümmungsoperators nach unten durch K beschränkt sind.

Durch Identifikation der Ränder ('Kleben') erhält man eine Riemannsche Mannigfaltigkeit mit stetiger Metrik (vgl. A.Petrunin, N.N. Kosovskii). Herr Schlichting hat gezeigt, dass auf der geklebten Mannifaltigkeit glatte Metriken konstruiert werden können, so dass die Eigenwerte des Krümmungsoperators nach unten durch K-s beschränkt sind, wobei s beliebig klein ist. Die geglätteten Mannigfaltigkeiten konvergeiren dann in der C0-Norm gegen die ursprungliche geklebete Mannigfaltigkeit.
In Teil II der Arbeit geht es speziell um den Fall K=0. In diesem Fall hat er gezeigt, dass ein Riccifluss der geklebten Mannigfaltigkeit existsiert, der die Mannigfaltigkeit glättet, so dass die Krümmungsschranke K= 0 erhalten wird.

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