Prof. Schwer
Prof. Dr. Petra Schwer
Institut für Algebra und Geometrie (IAG)
Aktuelle Projekte
Mathematische Komplexitätsreduktion (GRK 2297/1)
Laufzeit: 01.04.2017 bis 31.03.2026
Das Projekt wird von den genannten Principal Investigators getragen. Diese sind den Instituten für Mathematische Optimierung (Averkov, Kaibel, Sager), für Algebra und Geometrie (Kahle, Nill, Pott), für Mathematische Stochastik (Kirch, Schwabe) und für Analysis und Numerik (Benner) der Fakultät zugeordnet. Benner ist zudem Direktor des Max-Planck Institutes für Dynamik komplexer technischer Systeme. Die Fakultät für Elektrotechnik und Informationstechnik ist über Findeisen beteiligt.
Im Kontext des vorgeschlagenen Graduiertenkollegs (GK) verstehen wir Komplexität als eine intrinsische Eigenschaft, die einen mathematischen Zugang zu einem Problem auf drei Ebenen erschwert. Diese Ebenen sind eine angemessene mathematische Darstellung eines realen Problems, die Erkenntnis fundamentaler Eigenschaften und Strukturen mathematischer Objekte und das algorithmische Lösen einer mathematischen Problemstellung. Wir bezeichnen alle Ansätze, die systematisch auf einer dieser drei Ebenen zu einer zumindest partiellen Verbesserung führen, als mathematische Komplexitätsreduktion.
Für viele mathematische Fragestellungen sind Approximation und Dimensionsreduktion die wichtigsten Werkzeuge auf dem Weg zu einer vereinfachten Darstellung und Rechenzeitgewinnen. Wir sehen die Komplexitätsreduktionin einem allgemeineren Sinne und werden zusätzlich auch Liftings in höherdimensionale Räume und den Einfluss der Kosten von Datenerhebungen systematisch untersuchen. Unsere Forschungsziele sind die Entwicklung von mathematischer Theorie und Algorithmen sowie die Identifikation relevanter Problemklassen und möglicher Strukturausnutzung im Fokus der oben beschriebenen Komplexitätsreduktion.
Unsere Vision ist ein umfassendes Lehr- und Forschungsprogramm, das auf geometrischen, algebraischen, stochastischen und analytischen Ansätzen beruht und durch effiziente numerische Implementierungen komplementiert wird. Die Doktorandinnen und Doktoranden werden an einem maßgeschneiderten Ausbildungsprogramm teilnehmen. Dieses enthält unter anderem Kompaktkurse, ein wöchentliches Seminar und ermutigt zu einer frühzeitigen Integration in die wissenschaftliche Community. Wir erwarten, dass das GK als ein Katalysator zur Etablierung dieser erfolgreichen DFG-Ausbildungskonzepte an der Fakultät für Mathematik dienen und zudem helfen wird, die Gleichstellungssituation zu verbessern.
Die Komplexitätsreduktion ist ein elementarer Aspekt der wissenschaftlichen Hintergründe der beteiligten Wissenschaftler. Die Kombination von Expertisen unterschiedlicher mathematischer Bereiche gibt dem GK ein Alleinstellungsmerkmal mit großen Chancen für wissenschaftliche Durchbrüche. Das GK wird Anknüpfungspunkte an zwei Fakultäten der OVGU, an ein Max Planck Institut und mehrere nationale und internationale Forschungsaktivitäten in verschiedenen wissenschaftlichen Communities haben. Die Studierenden im GK werden in einer Fülle von mathematischen Methoden und Konzepten ausgebildet und erlangen dadurch die Fähigkeit, herausfordernde Aufgaben zu lösen. Wir erwarten Erfolge in der Forschung und in der Ausbildung der nächsten Generation führender Wissenschaftler in Akademia und Industrie.
Profinite rigidity of reflection groups
Laufzeit: 01.08.2022 bis 31.12.2025
Profinite rigidity asks to determine a group by its finite quotients. This concept is classical in group theory and many results in this direction are known. Geometric group theory has picked up on this notion in recent years. We aim to study profinite rigidity for abstract reflection groups.
Algorithmische Eigenschaften schon Coxeter Schatten
Laufzeit: 01.04.2021 bis 30.09.2024
Shadows in Coxeter groups are a well established tool which helps to characterize non-emptiness of double coset intersections in algebraic groups having these Coxeter groups as affine Weyl groups. These intersections in tern are relevant in the context of representation theory or in the study of non-emptiness and dimensions of certain varieties associated to the affine flag variety and affine Grassmannian. This project aims to find closed formulas for and a better algorithmic understanding of shadows.
Abgeschlossene Projekte
Geometry of conjugation
Laufzeit: 01.01.2022 bis 31.12.2023
The conjugacy problem is one of Dehn's three classical problems in group theory. It asks to determine whether or not tow given elements in a group are conjugate. In this project we solve this problem and characterize the full conjugacy class of elements in split subgroups of the full isometry group of the n-dimensional real affine space.
A unified approach to symmetric spaces of noncompact type and euclidean buildings
Laufzeit: 01.10.2020 bis 30.09.2023
The aim of the project is to provide a uniform framework which allows us to treat Riemannian symmetric spaces of noncompact type and
Euclidean buildings on an equal footing. We will in particular consider
the question of the extension of automorphisms at infinity,
filling properties of S-arithmetic groups, and Kostant Convexity
from an unified viewpoint.
Spiegelungslänge in nicht-affinen Coxetergruppen
Laufzeit: 01.04.2019 bis 30.09.2023
This project aims to study reflection length in infinite, on-affine Coxeter groups. The goal is to find sequences of elements of growing reflection length, to describe the distribution of a fixed reflection length in hyperbolic space and to prove estimates of reflection length for a given S-length.
Isomorphism problem for Coxeter groups
Laufzeit: 01.04.2022 bis 31.03.2023
In this project we introduce the galaxy of Coxeter groups - an infinite dimensional, locally finite, ranked simplicial complex which captures isomorphisms between Coxeter systems. In doing so, we would like to suggest a new framework to study the isomorphism problem for Coxeter groups. We prove some structural results about this space, provide a full characterization in small ranks and propose many questions. In addition we survey known tools, results and conjectures. Along the way we show profinite rigidity of triangle Coxeter groups - a result which is possibly of independent interest.
Kombinatorik hyperbolischer Coxetergruppen
Laufzeit: 01.11.2019 bis 31.10.2022
Coxetergruppen sind abstrakte Spiegelungsgruppen. Sie können in 3 Arten klassifiziert werden: sphärische, affine, und hyperbolische. Der hyperbolische Fall ist der interessanteste und schwierigste. Viele Eigenschaften, die im sphärischen Fall einfach und im affinen Fall lösbar sind bleiben im hyperbolischen Fall mysteriös. Um diese Komplexität zu beherrschen werden kombinatorische, algebraische, und geometrische Methoden kombiniert.
Chimney retractions in affine buildings
Laufzeit: 01.10.2021 bis 30.04.2022
The conjugacy problem is one of Dehn's three classical problems in group theory. It asks to determine whether or not two given elements in a group are conjugate. In this project we solve this problem and characterize the full conjugacy class of elements in split subgroups of the full isometry group of the n-dimensional real affine space.
Geometry of big data clouds
Laufzeit: 01.01.2020 bis 31.12.2021
In this project we use modern methods of geometric group theory to investigate connected components of clouds within in ICON weather model. We are currently developing a prototype to determine connected components in cloud data based on the triangular grid. First publications will be available, soon.This is a joint project with Aiko Voigt from KIT.
Kombinatorik von Schubertvarietäten
Laufzeit: 01.04.2018 bis 31.12.2021
Dieses Projekt untersucht sogenannte Schubertvarietäten und hat zum Ziel ein Kombinatorisches framework zu entwickeln um deren Tangentialräume zu verstehen und klassifizieren zu können.
Schubertvarietäten sind Untervarietäten von Fahnenvarietäten und spielen eine wichtige Rolle in der Darstellungstheorie.
Dimensions and non-emptiness of affine Deligne Lusztig varieties
Laufzeit: 01.04.2016 bis 30.06.2021
In diesem Projekt werden geometrische Methoden entwickelt um Dimensionen affiner Deligne-Lusztig Varietäten zu berechnen. Hierbei handelt es sich um Untervarietäten affiner Fahnenvarietäten.
Die Fragestellung stammt aus der arithmetischen Geometrie und wird hier mit neuen Methoden aus der geometrischen Gruppentheorie untersucht.
Das Projekt wird in Kooperation mit Elizabeth Milicevic (Haverford, USA) und Anne Thomas (Sydney, Australien) durchgeführt und durch ein ARC Discovery project gefördert.
Compactifications and Local-to-Global Structure for Bruhat-Tits Buildings
Laufzeit: 01.10.2017 bis 30.09.2020
The project is concerned with rigidity, compactifications and local-to-global principles in CAT(0) geometry. One aim is to give a uniform construction of compactifications of euclidean buildings, using Gromov's embedding into spaces of continuous functions.
The ultimate goal is to study the dynamics of discrete group actions on the building, using the compactification.
The project also intends to investigate LG-rigidity and non-rigidity for the 1-skeletons and chamber graphs of general Bruhat-Tits buildings.
Bruhat Tits buidlings are simplicial analogs of symmetric spaces and are a fundamental tool to study algebraic groups over non-archimedian local fields. Their combinatorial structure encodes a lot of information about flag varieties and Grassmannians.
The Geometry of Big Data Clouds
Laufzeit: 01.09.2019 bis 31.08.2020
This project establishes a surprising connection between high-resolution climate modeling and geometric group theory.
We aim to address the need for fundamentally new strategies in analyzing the big-data output from next-generation climate models.The new German-community climate model ICON is a next-generation model (Zängl et al.,2015). Thanks to its triangular grid, ICON runs effectively on tens of thousands of CPUs and harvests advances in supercomputing.
In contrast to previous climate models this new model is based on a triangular grid. To provide fast computing algorithms one can thus no longer work with a cube-grid structure.
The main idea of this project is to use a technique from geometric group theory to translate the triangle structure into a parallel grid and back and thus to provide a methods to integrate existing fast algorithms into the new model.
This project won the "Best grant proposal award 2018" by the YIN@KIT
Contracting boundaries of CAT(0) spaces
Laufzeit: 01.10.2016 bis 19.02.2020
Kontraktionsränder sind Ränder metrischer Räume mit nichtpositiver Krümmung, sogenannte CAT(0) Räume, die invariant unter Quasi-Isometrie sind.
Daher eignen sie sich gut um das grobe Verhalten der metrischen Räume zu untersuchen.
Dieses Dissertationsprojekt hat zum Ziel für geeignete Klassen von CAT(0) Räume ebensolche Ränder zu berechnen.
2022
Begutachteter Zeitschriftenartikel
Affine deligne-lusztig varieties and folded galleries governed by chimneys
Milićević, Elizabeth; Schwer, Petra; Thomas, Anne
In: Annales de l'Institut Fourier/ Institut Fourier - Grenoble: Univ. . - 2022, insges. 54 S.
Begutachteter Zeitschriftenartikel
A gallery model for affine flag varieties via chimney retractions
Milićević, Elizabeth; Naqvi, Yusra; Schwer, Petra; Thomas, Anne
In: Transformation groups - Boston, Mass.: Birkhäuser, 1996, Bd. 27 (2022), 4, insges. 49 S.
Begutachteter Zeitschriftenartikel
Shadows in the wild - folded galleries and their applications
Schwer, Petra
In: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung/ Deutsche Mathematiker-Vereinigung - Heidelberg: Springer, Bd. 124 (2022), S. 3-41
Nicht begutachteter Zeitschriftenartikel
Chimney retractions in affine buildings encode orbits in affine flag varieties
Milićević, Elizabeth; Schwer, Petra; Thomas, Anne
In: De.arxiv.org - [S.l.]: Arxiv.org . - 2022, insges. 31 S.
Nicht begutachteter Zeitschriftenartikel
The galaxy of coxeter groups
Rego, Yuri Santos; Schwer, Petra
In: De.arxiv.org - [S.l.]: Arxiv.org . - 2022, insges. 30 S.
2020
Begutachteter Zeitschriftenartikel
Root operators, root groups and retractions
Schwer, Petra
In: Journal of combinatorial algebra: JCA - Zürich: European Mathematical Society Publishing House, Bd. 2.2018, 3, S. 215-230
Begutachteter Zeitschriftenartikel
The triangle groups (2, 4, 5) and (2, 5, 5) are not systolic
Karrer, Annette; Schwer, Petra; Struyve, Koen
In: Graphs and combinatorics - Tokyo: Springer-Verl. Tokyo, Bd. 36 (2020), 6, S. 1741-1782
Begutachteter Zeitschriftenartikel
Shadows in coxeter groups
Graeber, Marius; Schwer, Petra
In: Annals of combinatorics - [Cham (ZG)]: [Springer International Publishing AG], Bd. 24 (2020), 1, S. 119-147
2019
Begutachteter Zeitschriftenartikel
A structure theorem for euclidean buildings
Schwer, Petra; Weniger, David
In: Journal of geometry - Cham: Springer International Publishing AG, 1971 . - 2019[Online first]
Wissenschaftliche Monographie
Dimensions of affine Deligne-Lusztig varieties - a new approach via labeled folded alcove walks and root operators
Milićević, Elizabeth; Schwer, Petra; Thomas, Anne
In: Providence, RI: American Mathematical Society, 2019, 1 Online-Ressource (v, 101 Seiten), Diagramme, Illustrationen - (Memoirs of the American Mathematical Society; volume 261, number 1260 (September 2019))[Literaturverzeichnis: Seite 99-101; "September 2019, volume 261, number 1260 (fourth of 7 numbers)"]
2018
Begutachteter Zeitschriftenartikel
Generalized non-crossing partitions and buildings
Schwer, Petra; Heller, Julia
In: The electronic journal of combinatorics - [Madralin] : EMIS ELibEMS - Vol. 25.2018, 1, Paper P1.24
Begutachteter Zeitschriftenartikel
Computing reflection length in an affine Coexeter group
Brewster Lewis, Joel; McCammond, Jon; Petersen, T. Kyle; Schwer, Petra
In: Transactions of the American Mathematical Society/ American Mathematical Society - Providence, RI: Soc., 1900 . - 2018, insges. 39 S.[Early View PDF]
Begutachteter Zeitschriftenartikel
Folding operators, root groups and retractions
Schwer, Petra
In: Journal of combinatorial algebra: JCA - Zürich: European Mathematical Society Publishing House, 2017, Bd. 2.2018, 3, S. 215-230
Nicht begutachteter Zeitschriftenartikel
A structure theorem for generalized affine buildings
Schwer, Petra; Weniger, David
In: De.arxiv.org - [S.l.]: Arxiv.org, 1991 . - 2018, insges. 14 S.