Auf der Suche nach dem Optimum

30.11.-1 -  

Wenn der Mathematiker Benjamin Nill auf einer Party gefragt wird, was er beruflich macht, gibt es zwei Reaktionen: „Entweder die Leute erzählen, wie schlecht sie in Mathe in der Schule waren oder sie wollen wissen, was es denn überhaupt noch zu erforschen gibt, es ist doch schon alles bekannt.“ Geschieht das Letztere, versucht der Wissenschaftler mit einem Vergleich zu erklären, dass genau das Gegenteil der Fall ist. „Stellen Sie sich einen Ball vor. Innen drin ist das Wissen, das wir heute haben. Außen ist das, was wir noch nicht wissen. Und genau am Rand arbeiten wir in der Forschung.“ Das Entscheidende: Je größer der Ball – also das Wissen – wird, desto mehr offene Fragen tauchen auf. Es gibt also viel zu tun für Mathematiker wie Benjamin Nill.

Mathematiker will Eigenschaften geometrischer Formen ergründen

Um sein Forschungsthema zu beschreiben, zieht der Mathematikprofessor, der das Institut für Algebra und Geometrie der Universität Magdeburg leitet, wiederum einen Ball als Beispiel heran: „Ein Fußball mit abgeflachten Seiten ist ein klassisches Polytop“, sagt er. Dieser ist ein konvexer geometrischer Körper, der aus Fünf- und Sechsecken zusammengesetzt ist. Auch Würfel, Pyramiden und Prismen sind Polytope. Ihre Seiten werden von Vielecken gebildet und sie treten in beliebiger Dimension auf. Liegen ihre Ecken in einem vorgegebenen Gitter, sind es Gitterpolytope. In der Welt der Gitterpolytope sind die Koordinaten jeder Ecke ganze Zahlen, und sie bestimmen die Form und Lage des Körpers. Der Rand des Gitterpolytops begrenzt, welche Punkte innerhalb und welche außerhalb dieses Körpers liegen. Nills Aufgabe ist es, diese geometrischen Objekte mathematisch zu beschreiben und zu klassifizieren, Vermutungen aufzustellen und zu beweisen und interessante neue Beispiele zu entdecken und deren Eigenschaften zu untersuchen. „Ähnlich wie ein Geologe ein seltenes Kristall analysiert, ein Biologe Gene katalogisiert oder ein Physiker neue Teilchen entdeckt.“

„Schauen Sie mal hier“, fordert Benjamin Nill auf und zeigt ein 1514 entstandenes Bild des Malers Albrecht Dürer. Ein Magisches Zahlenquadrat, ein Zirkel, ein Polyeder – „Melencolia I“ ist angefüllt mit Symbolen, die für Geometrie und Mathematik stehen. Mittendrin ein Polytop. Schon lange Zeit vor Dürer befassten sich andere Gelehrte mit eben jenen geometrischen Figuren, die Mathematiker wie Benjamin Nill auch heute noch faszinieren. Bekannt sind die nach dem griechischen Philosophen Platon benannten „Platonischen Körper“, die von regelmäßigen Vielecken einer Sorte gebildet werden. Von diesen gibt es genau fünf: Tetraeder, Würfel, Oktaeder, Dodekaeder und Ikosaeder. „Es sind wunderschöne, harmonische Polytope“, sagt Benjamin Nill.

Prof_Benjamin_Nill_MotivProf. Dr. Benjamin Nill mit einem Modell eines Polytops. (Foto: Harald Krieg)

Die Alltäglichkeit der Polytope

Und diese waren bereits vor Jahrtausenden Thema der Wissenschaft. Gelehrte erforschten ihre mathematischen Eigenschaften, entwickelten Formeln und Gleichungen, um sie zu beschreiben. „Sogar Johannes Kepler nutzte Polytope für sein Planetenmodell“, sagt Benjamin Nill. Heute werden die weiterentwickelten Verfahren in nahezu allen wirtschaftlichen Bereichen angewendet: Mit den Berechnungen zu Polytopen, bei denen jede Koordinate für einen bestimmten Parameter – etwa die Umsatzzahl eines Unternehmens, die Länge des Weges von einer Stadt in die andere oder die Geburtenzahl eines Landes – steht, lassen sich Gewinne optimieren, die schnellsten Verbindungen bestimmen oder ermitteln, wie die Fläche eines Raumes am effektivsten genutzt wird. Auch Online-Versandhändler nutzen die Geometrie der Zahlen, die hinter den Gitterpolytopen steckt, um ihren Kunden Produkte zu empfehlen, die am besten zu ihnen passen. Streamingdienste berechnen, welche Serie oder welcher Film dem Nutzer gefallen könnte.

Jede einzelne Größe, die bekannt ist, bildet dabei eine Koordinate im Gitterpolytop. Je mehr Koordinaten angegeben werden, desto höher ist die Dimension des dabei entstehenden Körpers. „Es gibt keinen Grund, in der dritten Dimension aufzuhören“, erklärt Benjamin Nill. Auch, wenn es schwerfällt, sich Räume jenseits davon vorzustellen – mathematisch gesehen ist dies unproblematisch – und sehr nützlich für viele Fragestellungen. In seinen Berechnungen berücksichtigt Nill nicht nur Körper in der vierten, sechsten oder zehnten Dimension. Mitunter ist es notwendig, auch in der achttausendsten oder zehntausendsten Dimension zu rechnen.

Um das Verfahren der Gitterpolytope auf konkrete Fragen anzuwenden, müssen die Mathematiker Einschränkungen definieren. Diese bestimmen, wo die Grenzen des Gitterpolytops verlaufen: „Eine Fabrik kann nur eine bestimmte Menge Güter in einer bestimmten Zeit produzieren, oder ich habe nur zwei Laster, die die Waren transportieren und die zwischendurch auch aufgetankt werden müssen“, erläutert Benjamin Nill. „Alle diese Einschränkungen kann man in Formeln fassen.“ Ausschlaggebend ist vor allem eines: Die Koordinaten müssen ganze Zahlen sein. Dadurch sind die möglichen Lösungen Gitterpunkte, die an der Grenze oder innerhalb des Polytops liegen müssen, das den Prozess mit allen gegebenen Einschränkungen beschreibt. Denn nur dann sind alle notwendigen Voraussetzungen erfüllt. Durch ein algorithmisches Verfahren wird dann mathematisch bestimmt, welche Bedingungen erfüllt sein müssen, damit der Gewinn am größten oder die Transportkosten am niedrigsten sind. „Unvorstellbar viele Unternehmen arbeiten mit diesen Analysen“, betont Benjamin Nill. „Die Optimierung ist wahrscheinlich eine der Hauptanwendungen der Mathematik heutzutage.“

Die Mathematik als faszinierende Reise

Doch für den Professor liegt die Faszination für sein Fachgebiet nicht darin, dass es sich wunderbar auf alle möglichen Bereiche des Lebens und der Wirtschaft anwenden lässt. Das „Spiel des Geistes“, das Jonglieren mit Zahlen und Formeln, die Mathematik an sich hat ihn schon früh in ihren Bann gezogen. In der Begabten-AG der Schule löste er erstmals Probleme der Hochschul-Mathematik und entdeckte, dass diese Wissenschaft ein fantasievoller, kreativer Prozess ist – und nicht umsonst traditionell den Geisteswissenschaften zugeordnet wurde. „Homöomorphismus“, „imaginäre Zahlen“ oder „Mächtigkeit des Kontinuums“ – die Sprache der Mathematik war dabei wegweisend: „Diese Begriffe haben etwas in mir ausgelöst, es war wie eine Schatzsuche, wie eine Reise in ferne Länder. Ich wollte wissen, was dahintersteckt.“

Die Faszination blieb ihm erhalten, auch wenn in der folgenden Karriere als Wissenschaftler durchaus Ernüchterungen folgten: „Manchmal sitzen Mathematiker einfach nur vor einem Blatt Papier mit einem Problem, aber es fehlen oft gute Beispiele, um zu sehen, ob die Fragestellung überhaupt Sinn macht“, erklärt er. Dann helfen auch in der Mathematik Experimente – am Computer. Benjamin Nill untersucht etwa in großen Datenbanken, wie viele Polytope ganz bestimmte Eigenschaften besitzen – sehr große oder kleine Volumen oder einen besonders glatten Rand. Daraus leitet er Vermutungen ab und versucht diese schließlich wiederum mathematisch zu beweisen. Fügen sich die einzelnen Arbeitsschritte schließlich wie Puzzleteile zu einem großen Ganzen zusammen, haben sich die Mühen gelohnt: „Wenn man dann merkt, dass alles Sinn ergibt und die Vermutung sich lösen lässt, das ist dann wirklich ein Erfolgserlebnis.“

Mitunter dauert es Jahre oder Jahrzehnte, bevor es soweit ist. Doch manchmal steht am Ende des Weges auch das Scheitern. „Formuliert man eine Vermutung, kann man sich nie wirklich sicher sein, dass man sie auch lösen kann“, beschreibt Benjamin Nill das Dilemma eines Mathematikers.

Die wichtigste Eigenschaft eines Mathematikers

Benjamin Nill weiß, wovon er redet. Schließlich hat er gerade gemeinsam mit Kollegen ein mathematisches Problem gelöst, an dem Mathematiker bereits seit über 30 Jahren grübelten. Es ging um die Frage, welches Volumen ein Gitterpolytop maximal einnehmen kann, wenn genau ein Gitterpunkt im Inneren des Polytops vorhanden ist. Die Lösung zum Problem offenbarte sich Benjamin Nill schließlich, als er eine Veröffentlichung von Gennadiy Averkov las, eines Kollegen am Institut für Mathematische Optimierung. Beide hatten getrennt voneinander Teilprobleme der Frage gelöst – aus diesen konnte letztlich die entscheidende Formel entwickelt werden. „Das ist aber nur der Anfang“, schmunzelt Benjamin Nill. „Wir wollen auch wissen, wie die Formel für zwei oder drei, ja für alle Gitterpunkte aussieht.“

Die Aussicht darauf, dass die Antwort dazu möglicherweise wieder erst in Jahrzehnten gefunden wird, scheint ihn nicht abzuschrecken. Warum auch – schließlich hat er die wichtigste Eigenschaft eines Mathematikers: Durchhaltevermögen. Und auch ein wenig Risikobereitschaft. Denn: „Oftmals verstecken sich gerade hinter jenen Fragen, die besonders schwierig zu lösen sind, die wirklich spannenden Themen.“


dodekaederJenseits der 3. Dimension

Üblicherweise kennt man an jedem Körper drei Dimensionen: Höhe, Länge und Breite. Sich einen Körper jenseits der dritten Dimension vorzustellen, fällt uns schwer. Algebraisch ist es jedoch sehr einfach, in hohen Dimensionen zu arbeiten. Ein Punkt in der Ebene hat genau zwei Koordinaten: x und y. Die Werte der beiden Koordinaten können beliebig sein. Ein Punkt im dreidimensionalen Raum hat drei Koordinaten – also (x,y,z), oder etwa (1,-3,5). Ein Punkt im vierdimensionalen Raum ist von der Form (x,y,z,t) und hat beispielsweise die Werte (4,1,-3,2). Diese Konstruktion kann man leicht in noch höhere Dimensionen fortsetzen. Mathematisch sind also keine Grenzen gesetzt.

Geometrisch kann man sich Dimension 4 folgendermaßen vorstellen: Man nehme dazu zunächst an, dass man ein Wesen ist, dass in einer Ebene lebt, und sich nichts anderes als diese zweidimensionale Welt vorstellen kann. Wie könnte es einen Eindruck von der dritten Dimension bekommen? Dazu stelle man sich einen dreidimensionalen geometrischen Körper, etwa einen Würfel, vor, der von einer Lampe beschienen wird und einen Schatten auf die Ebene wirft. Dreht sich der Körper, verändert sich der Schatten. Sieht nun ein zweidimensionales Wesen diesen Schatten, kann es daraus Informationen über die dritte Dimension bekommen. In gleicher Weise können die Schatten (mathematisch: Projektionen) von vierdimensionalen Körpern uns einen Einblick in die vierte Dimension geben. Daten, wie sie etwa Computertomografen liefern, spielen dabei eine zunehmende Rolle.

Letzte Änderung: 01.06.2018 - Ansprechpartner: M.A. Katharina Vorwerk